Afinação temperada (temperamento por igual) X afinação Pitagórica


Olá Ciro, tudo bem? Queria saber mais sobre afinações. Tipo a origem do sistema temperado, escala pitagórica, etc!! (André, via formspring.me)

Hmmm…desculpe fazer isso com você, mas eu não tenho como responder isso sem usar muuuitas frações, contas e raizes.

A afinação Pitagórica é atribuída a Pitágoras. Como todas as afinações ela divide a oitava para compor a escala. A mesma nota repetida na oitava superior tem o dobro da altura, isso quer dizer que se eu tiver uma nota Dó com uma altura (hipotética) 1, a nota Dó na oitava superior terá altura 2.

Essa é uma lei da acústica: Toda som quando tem a sua altura dobrada soa oitava acima.

Bom tendo Dó (altura 1) e Dó (altura 2), tire a média aritmédica (1 + 2 : 2 = 3/2) e temos a nota Sol, daí temos Dó(1) Sol(3/2) e Dó(2). Próximo passo, tire a média harmônica (2 X (1 x 2) : 2 = 4/3), e teremos a nota Fá. Completando as duas oitavas e as duas medias fica da seguinte forma:

Dó(1)   Fá(4/3)   Sol(3/2)   Dó(2).

Ok, daí a 5J é a média aritmética da oitava e a 4J é a média harmônica. Se pegarmos a altura de Sol(3/2) e dividirmos por Fá(4/3) teremos 9/8, que é o intervalo que conhecemos por um tom! Bom, agora multiplique Dó(1) por 9/8 e teremos Ré(9/8) um tom acima, multiplique esse Ré(9/8) por 9/8 e teremos Mi (81/64). Dessa forma temos o primeiro tetracorde:

Dó(1)  Ré(9/8)  Mi(81/64)   Fá(4/3)

Vamos repetir o mesmo procedimento entre Sol(3/2) e Dó(2) para obtermos o segundo tetracorde. Então é só multiplicar Sol(3/2) por 9/8 para subir um tom e teremos Lá(27/16), e finalmente multiplicar Lá(27/16) por 9/8 e teremos o Si(243/128). O segundo tetracorde fica:

Sol(3/2)  Lá(27/16)  Si(243/128)   Dó(2)

finalmente, juntando o primeiro e o segundo tetracorde temos a escala natural completa na afinação Pitagórica:

Dó(1) Ré(9/8) Mi(81/64) e Fá(4/3) Sol(3/2) Lá(27/16) Si(243/128) e Dó(2)

Essa é a afinação Pitagórica, ela é baseada na média aritmética e na média harmônica da oitava.

A afinação temperada, ou melhor o temperamento por igual, é baseada na média geométrica. A média geométrica é a raiz quadrada da multiplicação de Dó(1) e Dó(2), portanto raiz quadrada de 2 que é a nota Fá# (putz, infelizmente eu não sei escrever o símbolo de raiz no computador). E assim que começa a afinação temperada, com a oitava e sua média geométrica:

Dó(1)     Fá#(raiz de 2)     Dó(2).

Próximo passo, tirar a média geométrica entre Dó(1) e Fá#, e em seguida entre Fá# e Dó(2). Isso nos deixa a oitava dividida em 4 partes iguais de um tom e meio, veja como fica:

Dó(1)   Mib(raiz quarta de 2)   Fá#(raiz de 2) e

Fá#(raiz de 2)(raiz décima segunda de 2 elevado a 9) e Dó(2).

Daí se dividirmos cada intervalo de um tom e meio em 3 partes iguais teremos a escala cromática:

Dó(1) Réb(raiz décima segunda de 2)(raiz sexta de dois) Mib(raiz quarta de 2) Mi (raiz cúbica de 2)(raiz décima segunda de 2 elevado a 5) Fá#(raiz de 2) Sol(raiz décima segunda de 2 elevado a 7) Láb(raiz décima segunda de 2 elevado a 8 ) Lá(raiz décima segunda de 2 elevado a 9) Sib(raiz décima segunda de 2 elevado a 10) Si (raiz décima segunda de 2 elevado a 11) e Dó(2).

Se compararmos a escala natural com as duas afinaçoes temos:

Dó(1) Ré(9/8) Mi(81/64) e Fá(4/3) Sol(3/2) Lá(27/16) Si(243/128) e Dó(2) – na afinação Pitagórica

Dó(1) Ré(raiz sexta de dois) Mi(raiz cúbica de 2)(raiz décima segunda de 2 elevado a 5) Sol(raiz décima segunda de 2 elevado a 7)(raiz décima segunda de 2 elevado a 9) Si (raiz décima segunda de 2 elevado a 11) e Dó(2) – no temperamento por igual.

Como resultado nenhuma nota bate a não ser as oitavas!!!!

Existem diversos outros tipos de afinações, como a mesotônica, a natural e o temperamento por igual.

Bom, eu imagino que isso deva ser complicado de entender lendo assim… Mais fácil seria uma explicação ao vivo, mas eu juro que tentei…rsss

Abraços

About cirovisconti

Guitarrista do Diafanes, professor do Conservatório Souza lima e colaborador da Revista Guitar Player myspace.com/cirovisconti myspace.co
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7 Responses to Afinação temperada (temperamento por igual) X afinação Pitagórica

  1. Raquel Setz says:

    Cirones! Outro dia tava lendo um texto sobre afinações e lembrei de você. Tá aqui o link: http://www.slate.com/id/2250793

    A afinação pitagórica é aquela em que as quintas são realmente perfeitas, certo?

    • cirovisconti says:

      Raquelita, como vai?

      Valeu pelo link, eu vou ler. A Pitagórica é baseada nas quintas justas sim. Mas rola um problema se vc tentar montar a escala cromática com ela, isso por causa da coma pitagórica! Daí, nessa afinação a última quinta não fica Sol# e Ré#, fica Sol# e Mib que é chamado de quinta de lobo… beeeemmmm desafinada!

      beijooo

  2. Igor says:

    Opa tudo certinho?

    O que vc pode fala sobre “Buzz Feiten”.

    Obrigado

  3. Igor says:

    Sistema de afinção

  4. rui grenha says:

    entrei aqui por acaso.
    dediquei-me a ler o artigo para relembrar e ter mais claro na cabeça como funcionava a afinação pitagórica. achei o artigo interessante.

    em um dos comentários a baixo de texto referes vagamente a diferença entre por ex. um Mib e um Ré#. eu conheço e percebo a explicação, do ponto de vista da escrita, e do ponto de vista harmónico. Sei que realmente são notas diferentes com afinações diferentes (apesar de no piano e na guitarra compartirem a mesma tecla ou traste), mas existe uma explicação matemática para isso? Isso pode ser demonstrado através de cálculos. Confesso que não sei muito de acústica e esta uma das curiosidades que eu tenho.

    Obrigado pela atenção
    rui grenha

  5. Pingback: 2010 in review | Ciro Visconti's Blog

  6. Marcela says:

    acho que podia ter explicado de uma forma menos complicada, sendo que assim foi interessante também conhecer porque é diferente do que aprendi. no meu caso eu explicaria através dos comas, e o exemplo do monocórdio de pitágoras ou mesmo da corda de um violão sendo dividida em diferentes frações (1/1, 1/2, 1/3,…) dando origem a série harmônica. já a temperada criada por bach (que compôs o cravo bem temperado, em todas as tonalidades) fez com que a distância do semitom fosse padronizado (re# e mib soarem o mesmo). isso facilitou a execução de musica em conjunto, e que não fosse mais necessário um instrumento pra cada tonalidade. enfim, mas gostei da explicação atrávez da média aritmética e geométrica! abraço

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